数学に求められる論理の基礎。

任意の…。

例えば、

• 任意の x>0 で、f(x)>0 となる。

とは、

• x>0 である全ての xで、f(x)>0となる。

という事です。

条件を満たさぬ x が一つでもあれば、その論理は否定されます。

尚、数学では「∀」という記号を用いて、

• ∀x>0 [f(x)>0]

などと書きます。

ある…。

例えば、

• ある x>0 で、f(x)>0となる。

とは、

• x>0 であるある xで、f(x)>0となる。

すなわち

• f(x)>0となるような x>0 である xが一つは存在する。

という事です。

条件を満たす x が一つも無ければその論理は否定されます。

尚、数学では「∃」という記号を用いて、

• ∃x>0 [f(x)>0]

などと書きます。

注意

• 大学の試験で「ある任意の…」と書く人がいますが、ナンセンスです。

不等式の否定

例えば、

• x > y

という不等式の否定は、

• x < y

と書くと間違いです。

初めの不等式には等号は含まれません。

つまり、x = y もx > yを否定している訳です。

ですから、正しい否定は、

• x ≦ y

となります。

逆に等号も含む不等式の否定では、等式の否定は等号を含まない式となる訳で例えば、

• x ≧ y

という不等式の否定は、

• x < y

とするのが正しいことになります。

決して、x ≦ y ではありません。

「任意の…」と「ある…」の否定。

「任意の…」の否定。

• ∀x>0 [f(x)>0]

の否定はどうなるでしょう？

これは、f(x)>0 を満たさぬ x>0 が一つあれば否定されます。

つまり、正しい否定は、

• f(x)>0 を否定する x>0 が存在する

すなわち、

• f(x)≦0 となる x>0 が存在する

となります。

数学的には

• ∃x>0 [f(x)≦0]

となります。

「ある…」の否定。

一方、

• ∃x>0 [f(x)>0]

はどうでしょう？

この場合は、 f(x)>0 を満たす x>0 が全く無ければ否定されます。

つまり、正しい否定は、

• f(x)>0 となる x>0 が存在しない

すなわち、

• 全ての x>0 で f(x)≦0 となる

となります。

数学的には

• ∀x>0 [f(x)≦0]

となります。