代数学の基本定理。

二次方程式の実数解。

二次方程式は中学で習いますが、要は

• 変数 x の二乗が入り、三乗以上は入らない方程式

です。

その解はもとの方程式を

• ax² + bx + c = 0
• (a≠0)

としたときに

• -b ± √(b² - 4ac)) / 2a

となりますが、問題のは√の中身です。

b² - 4ac

が負となった場合、この平方根は実数にはなりません。

そこで中学ではこの場合解は無いと答えますが、√の中身が負の場合も考えてみましょう。

純虚数と複素数。

今、a > 0として√-aを考えると、

• -a=(-1)a

ですから、

• √a=√-1√a

となります。

そこで、

• i=√-1

という新しい数(虚数単位)を決めておけば、

• √-a=√-a・i

となって、負数の平方根を考えられるようになります。

もちろん、こんな数は実在せず、実数に対し純虚数と呼んでおります。

また、純虚数は実数とは異りますから、実数と純虚数を足した数

• z = a + bi

も考えられます。

この実数と純虚数を足した数を複素数といいます。

実数は b=0 、純虚数は a=0 ですので、実数や純虚数も複素数となります。

• 特にb≠0となっている複素数を虚数といいます。

複素数での二次方程式。

今まで実数だけで考えた二次方程式も、複素数で考えることで

• D = b² - 4ac < 0

の場合も虚数解が二つ存在することになります。

また、D=0の場合は解が一つしか出ませんが、二つの解が一致したと考えます。

結局、複素数では二次方程式は必ず二つの解が存在することが分かります。

代数学の基本定理。

二次方程式に限らず、二次以上の n次方程式でも複素数で考えれば必ず n個の解が存在します。

この

• n次方程式には必ず n個の複素数解が存在する

という事実は代数学の基本定理といわれる重大な定理なのです。